בגרות קיץ 2026 מועד ב' · שאלה 4 – מודל ריבועי: מסילה של רכבת הרים בצורת פרבולה3 יחידות 372 · שיעור 26
📄 נוסח השאלה
בפארק שעשועים התקינו רכבת הרים על קרקע מישורית. אחד מן הקטעים של מסילת הרכבת הוא בצורת פרבולה. קטע מסילה זה מתחיל בנקודה A על ציר ה־y ומסתיים בנקודה B (ראו סרטוט).
קטע זה מתואר על ידי הפונקצייה f(x) = −0.25x2 + 3x + 7. ציר ה־x מתאר את המרחק האופקי (במטרים) מן הנקודה A. ציר ה־y מתאר את גובה המסילה (במטרים) מעל הקרקע.
📄 נוסח השאלה · המשך
א. מצאו את גובה נקודת ההתחלה של קטע המסילה מעל הקרקע (הנקודה A).
ב. (1) מצאו את הגובה המקסימלי של קטע מסילה זה.
(2) מצאו בעבור אילו ערכים של x בקטע מסילה זה הרכבת נמצאת במגמת עלייה.
קטע המסילה מחובר לכמה עמודי תמיכה אנכיים המוצבים על הקרקע. אחד מעמודי התמיכה מחובר לקטע המסילה בנקודה B. נתון כי שיעור ה־x של הנקודה B הוא 13.
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. מצאו את הגובה של עמוד תמיכה זה.
בקטע מסילה זה מותקנות כמה מצלמות אוטומטיות כדי לתעד את הנוסעים. המצלמות נמצאות בנקודות שבהן גובה קטע המסילה מעל הקרקע הוא 12 מטרים.
ד. מצאו את שיעורי ה־x של הנקודות שבהן המצלמות נמצאות בקטע מסילה זה.
סעיף א – גובה הנקודה A
A על ציר ה־y, ולכן x = 0. נציב בפונקצייה:
📐 כלל: נקודה על ציר ה־y
f(x) = −0.25x2 + 3x + 7
f(0) = −0.25 · 02 + 3 · 0 + 7
f(0) = 7
✅ פתרון סופי: הגובה של A הוא 7 מטרים
📐 כלל: נקודה על ציר ה־y
x = 0
סעיף ב (1) – הגובה המקסימלי
המקדם של x2 שלילי (a = −0.25), ולכן הפרבולה "בוכה" והקדקוד שלה הוא נקודת המקסימום. נמצא את שיעור ה־x של הקדקוד, עם a = −0.25 , b = 3:
📐 נוסחה: שיעור ה־x של קדקוד הפרבולה
x = −b2 · a
x = −32 · (−0.25) = −3−0.5 = 6
נציב x = 6 בפונקצייה כדי למצוא את הגובה:
📐 כלל: ערך הפונקצייה בנקודה
f(x) = −0.25x2 + 3x + 7
f(6) = −0.25 · 62 + 3 · 6 + 7
📐 נוסחה: שיעור ה־x של קדקוד הפרבולה
x = −b2a
📐 כלל: ערך הפונקצייה בנקודה
מציבים את ה־x בפונקצייה
סעיף ב (1) – הגובה המקסימלי · המשך
f(6) = −0.25 · 62 + 3 · 6 + 7
f(6) = −0.25 · 36 + 18 + 7
f(6) = −9 + 18 + 7 = 16
✅ פתרון סופי: הגובה המקסימלי הוא 16 מטרים (בנקודה (6 , 16))
סעיף ב (2) – מגמת עלייה
הפרבולה "בוכה", ולכן היא עולה משמאל לקדקוד, כלומר בעבור x קטן מ־6:
📐 כלל: עלייה בפרבולה עם a שלילי
קטע המסילה מתחיל בנקודה A שבה x = 0, ולכן בקטע המסילה הרכבת עולה בעבור:
0 < x < 6
✅ פתרון סופי: 0 < x < 6
📐 כלל: עלייה בפרבולה עם a שלילי
כש־a < 0 הפרבולה "בוכה": עולה משמאל לקדקוד ויורדת מימינו
סעיף ג – גובה עמוד התמיכה ב־B
העמוד אנכי ומחובר למסילה בנקודה B, ולכן אורכו הוא הגובה של המסילה בנקודה B, כלומר f(13):
📐 כלל: ערך הפונקצייה בנקודה
f(x) = −0.25x2 + 3x + 7
נציב x = 13:
f(13) = −0.25 · 132 + 3 · 13 + 7
f(13) = −0.25 · 169 + 39 + 7
f(13) = −42.25 + 39 + 7 = 3.75
📐 כלל: ערך הפונקצייה בנקודה
מציבים את ה־x בפונקצייה
סעיף ג – גובה עמוד התמיכה ב־B · המשך
f(13) = −42.25 + 39 + 7 = 3.75
✅ פתרון סופי: גובה העמוד 3.75 מטרים
סעיף ד – מיקום המצלמות
המצלמות בנקודות שבהן הגובה 12 מטרים, ולכן נפתור f(x) = 12:
f(x) = −0.25x2 + 3x + 7
−0.25x2 + 3x + 7 = 12
−0.25x2 + 3x − 5 = 0
נכפול את שני האגפים ב־(−4) כדי לקבל מקדם 1 ל־x2:
x2 − 12x + 20 = 0
סעיף ד – מיקום המצלמות · המשך
x2 − 12x + 20 = 0
נפתור בנוסחת השורשים, כאשר a = 1 , b = −12 , c = 20 :
📐 נוסחת השורשים
x1,2 = −b ± √(b2 − 4 · a · c)2 · a
x1,2 = 12 ± √((−12)2 − 4 · 1 · 20)2 · 1
x1,2 = 12 ± √(144 − 80)2
x1,2 = 12 ± √642 = 12 ± 82
📐 נוסחת השורשים
x1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
סעיף ד – מיקום המצלמות · המשך
x1,2 = 12 ± √642 = 12 ± 82
x1 = 12 + 82 = 202 = 10
x2 = 12 − 82 = 42 = 2
שני הפתרונות נמצאים בין 0 ל־13, כלומר בתוך קטע המסילה.
בדיקה: f(2) = −1 + 6 + 7 = 12 ✓ , f(10) = −25 + 30 + 7 = 12 ✓
✅ פתרון סופי: x = 2 , x = 10
📌 סיכום התשובות
א
7 מטרים
ב (1)
16 מטרים
ב (2)
0 < x < 6
ג
3.75 מטרים
ד
x = 2 , x = 10
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא